Friedrich Ludwig Gottlob Frege - problem statusu twierdzeń arytmetyki

Frege, rozważając problem analityczności w kontekście pytania o status twierdzeń arytmetyki, podważał poglądy:

-Kanta (prawdy arytmetyczne są syntetyczne a priori),

-Milla (prawdy arytmetyczne są indukcyjne, tj. syntetyczne a posteriori)

Pozostała tylko możliwość, że prawdy arytmetyczne są analityczne i aprioryczne.

Frege  stwierdził, że kategoria analitycznych a posteriori  może być wyeliminowana. Podziały sądów na aprioryczne i aposterioryczn oraz syntetyczne i analityczne dotyczą nie  treści sądów tylko sposobu ich uzasadniania. Gdzie nie ma sposobu uzasadniania sądów tam brakuje tego podziału.

Frege uważa, że taki podział sądów wiąże się z tym, w jaki sposób rozumieli kategorie sądów różni autorzy (również Kant). Jest to jednak niezgodne z rozumieniem „analityczności"  przez Kanta, który odnosił je do treści, a nie do ich uzasadnienia. Frege nie zgadzał się z Kantem, że zdania analityczne rozszerzają wiedzę. Pojęcie zdania analitycznego u Fegego nie sprowadza się tylko do kwestii zakresu (ma szerszy zakres niż u Kanta).

Frege utożsamiał uzasadnienie w matematyce z dowodem (dowodzone zdanie wynika z założeń pierwotnych).

„Zdanie będzie syntetyczne, gdy dowodu nie da się przeprowadzić bez odwołania się do praw nie będących czysto logicznymi i należącymi do jakiejś nauki szczegółowej"[1].

Prawda aposterioryczna wymaga, aby dowód odwołał się do faktów (niedowodliwych prawd szczegółowych, określających cechy przedmiotu).

Prawda aprioryczna polega na odwołaniu się wyłącznie do praw ogólnych, które nie potrzebują dowodu.

Frege uważa, że wszelkie prawdy arytmetyczne można logicznie wywieść z samych definicji. Z kolei geometria potrzebuje właściwych sobie aksjomatów niesprzecznych logicznie ze sobą wzajemnie. Logiczne wywodzenie wiąże się z analitycznym statusem twierdzeń arytmetyki.

Frege przeciwstawia arytmetykę (analityczna, aposterioryczna) - geometrii (syntetyczna, aprioryczna). Jego zdaniem podstawowe prawa arytmetyki da się rozciągnąć na wszystko, co da się pomyśleć.

Zdanie analityczne (wg Fregego)-to zdanie dowodliwe wyłącznie na podstawie praz logiki i definicji.

Frege oparł redukcję arytmetyki do logiki na definicji liczby naturalnej za pomocą pojęć zbioru i należenia do zbioru (potraktowane jako stałe logiczne).

Konstrukcja definicji zdania analitycznego zakłada analityczność samej logiki, którą Frege rozumiał też jako system twierdzeń. Tezy logiki kreują analityczność, co nie oznacza, że same są analityczne. Nie jest jasne, dlaczego analityczność ma polegać na do prawd apriorycznych.

Logicyzm zakłada jednorodność logiki i arytmetyki z punktu widzenia podziału zdań  na analityczne i syntetyczne.

---

[1] Jan Woleński, Matematyka a epistemologia, Warszawa 1993, s. 130.

oprac. na podstawie:

Jan Woleński, Matematyka a epistemologia, Warszawa 1993, s. 129-132